Question

(本題滿分15分)已知向量= (cos ，sin )，= (cos ，??sin )， = (，??1) ，其中x∈R．   （I）當⊥時，求x值的集合；(Ⅱ)求| ?? |的最大值．

Answer 1

(Ⅰ)  {x| x = + (k∈Z)}；  (Ⅱ)  3．

解析:

（I）由⊥?? · = 0，  2分

即    cos cos ?? sin sin = 0，得cos 2x = 0，    5分

則    2x = kπ + (k∈Z)，     ∴ x = + (k∈Z)，

  ∴ 當⊥時，x值的集合為{x| x = + (k∈Z)}；   7分

(Ⅱ)法一： | ?? |² = ( ?? )² = ² ?? 2 + ² = ||² ?? 2 + ||²， 9分

      又||² = (cos )² + (sin )² = 1，||² = ()² + (??1)² = 4，

     · = cos ?? sin = 2(cos ?? sin ) = 2cos ( + )，

∴ | ?? |² = 1 ?? 4 cos ( + ) + 4 = 5 ?? 4 cos ( + )，  13分

     ∴ | ?? |² _max = 9，  ∴ | ?? | _max = 3，

即 | ?? |的最大值為3．    15分

法二：  ??  = ( cos ??，sin + 1) 9分| ?? |² = |( cos ??，sin + 1)|² = ( cos ??)² + (sin + 1)²= cos ² ?? 2cos + 3 + sin ² + 2sin + 1= 2(sin ?? cos )² +5 = 4sin ( ?? ) + 5，13分∴ | ?? |² _max = 9，  ∴ | ?? | _max = 3，即    | ?? |的最大值為3．  15分