Question

如圖，矩形ABCD是機器人踢足球的場地，AB=170cm，AD=80cm，機器人先從AD的中點E進入場地到點F處，EF=40cm，EF⊥AD．場地內有一小球從B點向A點運動，機器人從F點出發去截小球，現機器人和小球同時出發，它們均作勻速直線運動，并且小球運動的速度是機器人行走速度的2倍．若忽略機器人原地旋轉所需的時間，則機器人最快可在何處截住小球？

Answer 1

分析：設機器人最快可在點G處截住小球，點G在線段AB上，設FG為xcm，表示出BG和AG因為三角形AEF為等腰直角三角形，可得角FAG為45°，在三角形AFG中根據余弦定理求出FG即可．

解答：解：設該機器人最快可在點G處截住小球，點G在線段AB上．
設FG=xcm．根據題意，得BG=2xcm．
則AG=AB-BG=（170-2x）（cm）．
連接AF，在△AEF中，EF=AE=40cm，EF⊥AD，
所以∠EAF=45°，AF=40

2

cm．
于是∠FAG=45°．在△AFG中，由余弦定理，
得FG²=AF²+AG²-2AF•AGcos∠FAG．
所以x2=(40

2

)2+(170-2x)2-2×40

2

×(170-2x)cos45°．
解得x1=50x2=

370

3

．
所以AG=170-2x=70（cm），或AG=-

230

3

 (cm)（不合題意，舍去）．
答：該機器人最快可在線段AB上離A點70cm處截住小球．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，利用余弦定理求邊的能力．