Question

某地為促進淡水養殖業的發展，將價格控制在適當范圍內，決定對淡水養殖提供政府補貼．設淡水魚的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克，根據市場調查，當8≤x≤14時，淡水魚的市場日供應量P千克與市場日需求量Q千克近似地滿足關系：

P＝1 000(x＋t－8)(x≥8，t≥0)，Q＝500(0≤x≤14)，

當P＝Q時的市場價格稱為市場平衡價格．

(1)將市場平衡價格表示為政府補貼的函數，并求出函數的定義域．

(2)為使市場平衡價格不高于每千克10元，政府補貼至少為每千克多少元？

Answer 1

答案：
解析：

(1)市場平衡價格即P＝Q． 　　∴1 000(x＋t－8)＝500． 　　化簡得[2(x＋t－8)]2＝40－(x－8)2，5x2＋(8t－80)x＋(4t2－64t＋280)＝0，當Δ＝(8t－80)2－4×5×(4t2－64t＋280)≥0，即Δ＝800－16t2≥0，t2≤50時，x＝8－t±．由已知x≥8，∴x＝8－t＋． 　　故所求函數解析式為x＝8－t＋． 　　其中定義域必須滿足以下條件： 　　即即0≤t≤; 　　(2)市場平衡價格不高于每千克10元， 　　即8－t＋≤10，整理得≤5＋2t． 　　∴t≤－5或t≥1．又∵0≤t≤，∴t≥1．故政府補貼至少每千克1元．

提示：

弄清題意是解答本題的關鍵．第(1)問中，將市場平衡價格表示為政府補貼的函數，就是將x表示為t的函數，即x＝f(t)．第(2)問就是在函數x＝f(t)中，值域f(t)≤10時，求自變量t的最小值．