Question

閱讀不等式2^x+1＞3^x的解法：
設(shè)f(x)=(

2

3

)x+(

1

3

)x，函數(shù)y=(

2

3

)x和y=(

1

3

)x在R內(nèi)都單調(diào)遞減；則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
∵f（1）=1，∴當(dāng)x＜1時(shí)，(

2

3

)x+(

1

3

)x＞1，當(dāng)x≥1時(shí)，(

2

3

)x+(

1

3

)x≤1．
∵3^x＞0，∴不等式2^+1＞3x的解為x＜1；
（1）試?yán)�用上面的方法解不等�?^x+3^x≥5^x；
（2）證明：3^x+4^x=5^x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解x=2．

Answer 1

（1）設(shè)g(x)=(

2

5

)x+(

3

5

)x，函數(shù)y=(

2

5

)x和y=(

3

5

)x在R內(nèi)都單調(diào)遞減；則g（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∵g（1）=1，當(dāng)x≤1時(shí)，(

2

5

)x+(

3

5

)x≥1，當(dāng)x＞1時(shí)，(

2

5

)x+(

3

5

)x＜1；
∴不等式2^x+3^x≥5^x的解集為：{x|x≤1}；
（2）令h(x)=(

3

5

)x+(

4

5

)x，函數(shù)y=(

3

5

)x和y=(

4

5

)x在R內(nèi)都單調(diào)遞減；則h（x在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（2）=2，當(dāng)x＜2時(shí)，(

3

5

)x+(

4

5

)x＞1，當(dāng)x＞2時(shí)，(

3

5

)x+(

4

5

)x＜1；
∴有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x=2使得(

3

5

)x+(

4

5

)x=1，即3^x+4^x=5^x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解x=2．