Question

已知函數f（x）=2sin（ωx+?-

π

6

）（0＜?＜π，ω＞0），
（1）若函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

，且它的圖象過（0，1）點，求函數y=f（x）的表達式；
（2）將（1）中的函數y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）的單調遞增區間；
（3）若f（x）的圖象在x∈（a，a+

1

100

）（a∈R）上至少出現一個最高點或最低點，則正整數ω的最小值為多少？

Answer 1

分析：（1）由

T

2

=

π

2

可求ω，它的圖象過（0，1）點，0＜?＜π，可求φ，從而可得函數y=f（x）的表達式；
（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得y=g（x）的解析式，從而可得其單調遞增區間；
（3）利用

1

2

T=

π

ω

＜

1

100

，即可求得正整數ω的最小值．

解答：解：（1）依題意，

T

2

=

π

2

，故T=π，
∴ω=2；
又f（0）=2sin（2×0+?-

π

6

）=1，
∴sin（?-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜?＜π，
∴φ=

π

3

；
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（2）將f（x）=2sin（2x+

π

6

）的圖象向右平移

π

6

個單位得f（x-

π

6

）=2sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]=2sin（2x-

π

6

），
再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得y=g（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）；
由2kπ-

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：
4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

4π

3

（k∈Z），
∴g（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）的單調遞增區間為[4kπ-

2π

3

，4kπ+

4π

3

]（k∈Z）．
（3）∵f（x）=2sin（ωx+?-

π

6

）的圖象在x∈（a，a+

1

100

）（a∈R）上至少出現一個最高點或最低點，
∴

1

2

T=

π

ω

＜

1

100

，
∴ω＞100π，
∴正整數ω的最小值為315．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查正弦函數的性質，屬于難題．