Question

已知f（x）為R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x²-4x+3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）作出f（x）的圖象并根據圖象討論關于x的方程：f（x）-c=0（c∈R）根的個數．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需求出x≤0時的表達式即可．設x＜0，則-x＞0，求出f（-x），根據奇函數得出f（x）與f（-x）的關系，從而求得f（x）；當x=0時由奇函數性質可得f（0）=0．
（2）作出函數f（x）的圖象，問題轉化為函數y=f（x）與y=c圖象的交點個數問題．
解答：解：（1）當x＜0時，-x＞0，∵f（x）為R上的奇函數，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]=-x²-4x-3，即f（x）=-x²-4x-3．
當x=0時，由f（-x）=-f（x），得f（0）=0．
所以f（x）=．
（2）作圖（如圖所示），由f（x）-c=0得：c=f（x），在圖中做出y=c，根據交點的情況即可得方程的根的情況：
當c≥3或c≤-3時，方程有一個根；當1＜c＜3或-3＜c＜-1時，方程有2個根；當c=-1或c=1時，方程有3個根；當0＜c＜1或-1＜c＜0時，方程有4個根；c=0，方程有5個根．
點評：本題考查函數解析式的求解及函數作圖，方程根的個數問題常轉化為函數圖象的交點問題，要深刻理解函數與方程思想在本題中的應用．