Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論函數的單調區間.

（Ⅱ）當時，設的兩個極值點,恰為的零點，求的最小值.

Answer 1

【答案】(I)當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為，當時，的單調遞增區間為；(II).

【解析】

試題分析：（I）求出函數的導數，討論的取值，利用導數判斷函數的單調性與單調區間；（II）對函數求導數，利用極值的定義得出時存在兩正根、；再利用判別式以及根與系數的關系，結合零點的定義，構造函數，利用導數即可求出函數的最小值．

試題解析：（Ⅰ）函數，，；

當時，由解得，即當時，，單調遞增；

由解得，即當時，，單調遞減；

當時，，即在上單調遞增；

當時，，故，即在上單調遞增；

當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

當時，的單調遞增區間為； ...（5分）

（Ⅱ），則，

的兩根、即為方程的兩根；

又，

，，； ...（7分）

又，為的零點，

，

兩式相減得,

得,

而,

， ...（10分）

令，

由得，

因為，兩邊同時除以，得，

，故，解得或，； ...（12分）

設，

，則在上是減函數，

.

即的最小值為 ...（14分）