Question

一個口袋中裝有n個紅球（n≥4且n∈N）和5個白球，從中摸兩個球，兩個球顏色相同則為中獎．
（Ⅰ）若一次摸兩個球，試用n表示一次摸球中獎的概率p；
（Ⅱ）若一次摸一個球，當n=4時，求二次摸球（每次摸球后不放回）中獎的概率；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有二次中獎的概率為P，當n取多少時，P最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是一次摸獎從n+5個球中任選兩個，滿足條件的事件是兩球不同色有C_n¹C₅¹種，根據等可能事件的概率得到結果．
（Ⅱ）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件數C₈¹C₉¹，滿足條件的事件是C₄¹C₃¹+C₅¹C₄¹，根據等可能事件的概率得到結果．
（III）設每次摸獎中獎的概率為p，則三次摸獎（每次摸獎后放回），恰有二次中獎的概率為P為P=P₃（2）=C₃²•p²•（1-p）=3（p²-p³），當p=

2

3

時，P取得最大值．得到n的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發生包含的事件是一次摸獎從n+5個球中任選兩個，有C_n+5²種，
滿足條件的事件是兩球不同色有C_n¹C₅¹種，
根據等可能事件的概率得到一次摸獎中獎的概率p=1-

10n

(n+5)(n+4)

=

n2-n+20

n2+9n+20

（Ⅱ）若n=4，由題意知本題是一個等可能事件的概率
試驗發生包含的事件數C₈¹C₉¹，
滿足條件的事件是C₄¹C₃¹+C₅¹C₄¹
得到二次摸獎（每次摸獎后不放回）中獎的概率是P=

C 1 4 C 1 3 + C 1 5 C 1 4

C 1 9 C 1 8

=

4

9

答：二次摸球（每次摸球后不放回）中獎的概率為

4

9

．．
（Ⅲ）設每次摸獎中獎的概率為p，則三次摸獎（每次摸獎后放回）
恰有二次中獎的概率為P為P=P₃（2）=C₃²•p²•（1-p）=3（p²-p³），0＜p＜1，．．
當p=

2

3

時，P取得最大值．
又p=1-

10n

(n+5)(n+4)

=

2

3

，解得n=20
答：當n=20時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有二次中獎的概率最大

點評：本題考查等可能事件的概率，考查等可能事件的概率的應用，這種問題可以出現在大型考試的解答題目中，是一個綜合題．