Question

一個口袋中裝有n個紅球（n≥5且n∈N）和5個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球顏色不同則為中獎．
（Ⅰ）試用n表示一次摸獎中獎的概率p；
（Ⅱ）若n=5，求三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率；
（Ⅲ） 記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為P．當n取多少時，P最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是一次摸獎從n+5個球中任選兩個，滿足條件的事件是兩球不同色有C_n¹C₅¹種，根據等可能事件的概率得到結果．
（Ⅱ）本題是一個等可能事件的概率，若n=5，一次摸獎中獎的概率p=

5

9

，三次摸獎是獨立重復試驗，然后利用n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式進行求解即可；
（III）設每次摸獎中獎的概率為p，則三次摸獎（每次摸獎后放回），恰有一次中獎的概率為P為P=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p，當p=

1

3

時，P取得最大值．得到n的值．

解答：解：（Ⅰ）一次摸獎從n+5個球中任選兩個，有C_n+5²種，它們等可能，其中兩球不同色有C_n¹C₅¹種，一次摸獎中獎的概率p=

10n

(n+5)(n+4)

．
（Ⅱ）若n=5，一次摸獎中獎的概率p=

5

9

，三次摸獎是獨立重復試驗，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率是P3(1)=

C

1 3

•p•(1-p)2=

80

243

．
（Ⅲ）設每次摸獎中獎的概率為p，則三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為P=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p，0＜p＜1，P'=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），知在(0，

1

3

)上P為增函數，在(

1

3

，1)上P為減函數，當p=

1

3

時P取得最大值．又p=

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，解得n=20．
答：當n=20時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率最大．

點評：本題是一個在等可能性事件基礎上的獨立重復試驗問題，體現了不同概型的綜合．第Ⅲ小題中的函數是三次函數，運用了導數求三次函數的最值．如果學生直接用

10n

(n+5)(n+4)

代替p，函數將比較煩瑣，這時需要運用換元的方法，將

10n

(n+5)(n+4)

看成一個整體，再求最值．