Question

（2013•許昌二模）若函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

3

2

x²ax+4恰在[-1，4]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的值為

-4

．

Answer 1

分析：原函數(shù)是一個三次多項式函數(shù)，因此考慮用導函數(shù)的方法研究它的單調(diào)性．先求出f′（x）=x²-3x+a，函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+ax+4，恰在[-1，4]上遞減，說明f′（x）≤0的解集恰好是[-1，4]，最后利用一元二次方程根與系數(shù)的關系，可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：先求出f′（x）=x²-3x+a，
∵函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+ax+4，恰在[-1，4]上遞減，
∴不等式f′（x）≤0的解集恰好是[-1，4]，
也就是說：方程x²-3x+a=0的根是x₁=-1，x₂=4
用一元二次方程根與系數(shù)的關系，得：

-1+4=3 -1×4=a

所以a=-4
故答案為：-4

點評：本題以三次多項式函數(shù)為例，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．深刻理解一元二次不等式的解集與一元二次方程根之間的關系，是解決好本題的關鍵．