Question

（本小題滿分14分）

已知函數．

(1)討論函數在定義域內的極值點的個數；

(2)若函數在處取得極值，對,恒成立，求實數的取值范圍；

(3)當且時，試比較的大小．

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)當時，在上恒成立，函數 在單調遞減，∴在上沒有極值點；當時，得，得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當時在上沒有極值點，

當時，在上有一個極值點．

(Ⅱ) ．

(Ⅲ)當時，>，即．

當時，∴，

當時，∴  。

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用，求解函數的 極值問題，以及函數的極值與不等式的綜合運用和不等式的大小的比較。

（1）因為函數．，然后求解定義域和導數，根據參數a的范圍求解函數在定義域內的極值點的個數；

(2)因為函數在處取得極值，則說明在該點處的導數值為零，然后分析，對,恒成立，轉化為函數的最值問題，來求解實數的取值范圍；

(3)當且時，要比較的大小，只要構造函數，運用導數的思想求解得到結論。

解：(Ⅰ)由已知的定義域為。，

當時，在上恒成立，函數 在單調遞減，∴在上沒有極值點；

當時，得，得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當時在上沒有極值點，

當時，在上有一個極值點．                  ········· 5分

(Ⅱ)∵函數在處取得極值，∴，

∴，                            ········ 7分

令，可得在上遞減，在上遞增，

∴，即．                  ·········· 9分

(Ⅲ)解：令，                        ······· 10分

由(Ⅱ)可知在上單調遞減，則在上單調遞減

∴當時，>，即．·········· 12分

當時，∴，

當時，∴                ········· 14分