Question

16．在△ABC中，若$asinBcosC+csinBcosA=\frac{1}{2}b$，且a＞b，
（1）求角B的大�。�
（2）若$b=\sqrt{13}，a+c=4$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理公式化簡，即可求角B的大��；
（2）運用三角形的內角和定理可得角A，再由正弦定理，計算即可得到c．

解答 解：（1）由$asinBcosC+csinBcosA=\frac{1}{2}b$，
可得：sinAcosC+sinCcosA=$\frac{1}{2}$，
?sin（A+C）=$\frac{1}{2}$
?sinB=$\frac{1}{2}$．
∵a＞b，
∴B=$\frac{π}{6}$．
（2）$b=\sqrt{13}，a+c=4$，
∴（a+c）²=16，即a²+c²+2ac=16
由cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，可得：${a}^{2}+{c}^{2}=\sqrt{3}ac+13$，
∴ac（2+$\sqrt{3}$）=3，
ac=3（2-$\sqrt{3}$）
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×3（2-\sqrt{3}）×\frac{1}{2}$=$\frac{6-3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查三角形的正余弦定理的運用和計算能力以及三角形的面積的計算．屬于基礎題．