Question

對定義在［-1,1］上的函數f(x),若存在常數A＞0,使得對任意x₁、x₂∈［-1,1］,都有|f(x₁)-f(x₂)|≤A·|x₁-x₂|,則稱f(x)具有性質L.問函數f(x)=x²+3x+5與g(x)=|是否具有性質L?試證明之.

Answer 1

思路分析:要確定一個函數具有性質L,其關鍵是要能找到滿足題設條件中的常數A,而要確定一個函數不具有性質L,則一般需通過反證法來證明或尋找一個反例.

解析:(1)對于f(x)=x²+3x+5,任取x₁、x₂∈［-1,1］,

|f(x₁)-f(x₂)|=|x₁²-x₂²+3(x₁-x₂)|=|(x₁-x₂)(x₁+x₂+3)|

=|x₁-x₂|·|x₁+x₂+3|

≤|x₁-x₂|·(|x₁|+|x₂|+3)

≤5|x₁-x₂|.

∴存在A=5,使f(x)具有性質L.

(2)對于g(x)=,設它具有性質L,任取x₁、x₂∈［0,1］,則|g(x₁)-g(x₂)|=|-|

=≤A|x₁-x₂|,

∴A≥,

≤2.

∴∈(0,2］.取x₁=≤1,x₂=,有,與≥矛盾,故g(x)=不具有性質L