Question

在△ABC中，a，b，c為三角形的三邊，
（1）我們知道，△ABC為直角三角形的充要條件是存在一條邊的平方等于另兩邊的平方和．類似地，試用三邊的關系分別給出△ABC為銳角三角形的充要條件以及△ABC為鈍角三角形的充要條件；（不需證明）
（2）由（1）知，若a²+b²=c²，則△ABC為直角三角形．試探究當三邊a，b，c滿足aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2）時三角形的形狀，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據△ABC為直角三角形的充要條件的表述可得△ABC為銳角三角形、鈍角三角形的充要條件．
（2）由題意可得0＜a＜c，0＜b＜c．根據aⁿ＜a²•c^n-2，bⁿ＜b²•c^n-2，可得 c² ＜a²+b²，從而△ABC為銳角三角形．

解答：解：（1）△ABC為銳角三角形的充要條件是：任意兩邊的平方和小于第三邊的平方．
△ABC為鈍角三角形的充要條件是：存在一條邊的平方大于另兩邊的平方和．
（2）∵aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2），∴c邊為三角形ABC的最大邊，∴0＜a＜c，0＜b＜c．
∴aⁿ=a²•a^n-2＜a²•c^n-2，bⁿ=b²•b^n-2＜b²•c^n-2．
∴cⁿ=aⁿ+bⁿ＜a²•c^n-2+b²•c^n-2=（a²+b²）c^n-1，
∴c² ＜a²+b²，故△ABC為銳角三角形．
綜上，當 aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2）時，三角形一定是銳角三角形．

點評：本題考查三角形為銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形的充要條件，證明當 aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2）時，c² ＜a²+b²，是解題的難點．