Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3且2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N⁺）數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，其中
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由2a_n+1=a_n+2+a_n可得數(shù)列{a_n為等差數(shù)列，由a₁=1，a₂=3可得d=2代入可求數(shù)列{a_n的通項公式；利用遞推公式，可得，數(shù)列{b_n從第二項開始的等比數(shù)列，代入求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）由于數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，{b_n}為等比數(shù)列，利用乘公比錯位相減法求和．
解答：解：（1）∵2a_n+1=a_n+2+a_n∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，（1分）
∴公差d=a₂-a₁=2∴a_n=2n-1 （3分）
∵b_n+1=-S_n∴b_n=-S_n-1（n≥2）
b_n+1-b_n=-b_n，∴
又∵b₂=-S₁=1

∴數(shù)列{b_n}從第二項開始是等比數(shù)列，
∴（6分）
（2）∵（7分）∴
∴3T_n=-2+3×3¹+5×3²+7×3³++（2n-1）×3^n-1（10分）
錯位相減并整理得．（12分）
點評：本題主要考查由等差中項法證明數(shù)列是等差數(shù)列進而求等差數(shù)列的通項公式、由遞推公式求證等比數(shù)列，運用遞推公式時一定要注意n≥2的條件及對n=1的檢驗；錯位相減求和是數(shù)列求和的重要方法，要注意掌握．