Question

如圖，函數y=2sin（πx+φ），x∈R，（其中0≤φ≤）的圖象與y軸交于點（0，1）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）設P是圖象上的最高點，M、N是圖象與x軸的交點，求的夾角．

Answer 1

【答案】分析：（1）求正弦型函數的φ值，我們可以在函數圖象尋找一點的坐標（一般是最值點的坐標），代入函數的解析式，構造關于φ的三角方程，結合φ的取值范圍，解方程即可得到φ的值．
（2）由（1）的結論我們不難得到函數的解析式，根據解析式，我們易得P，M，N三點坐標，及相應向量的坐標，代入向量夾角公式，即可得到兩個向量的夾角．
解答：解：（Ⅰ）因為函數圖象過點（0，1）
所以2sinx=1，即?
因為所以．

（Ⅱ）由函數及其圖象，
得，
所以
從而=
故．
點評：已知函數圖象求函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式時，常用的解題方法是待定系數法，由圖中的最大值或最小值確定A，由周期確定ω，由適合解析式的點的坐標來確定φ，但由圖象求得的y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范圍，才能得出唯一解，否則φ的值不確定，解析式也就不唯一．