Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）當E為AB的中點時，求點A到面ECD₁的距離；
（3）AE等于何值時，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．

Answer 1

分析：（1）建立坐標空間直角坐標系，利用向量法證明D₁E⊥A₁D；
（2）當E為AB的中點時，求出平面ACD₁的一個法向量，最后利用點到面的距離公式即可求點E到面ACD₁的距離．
（3）求出面D₁EC和面ECD的法向量，利用法向量之間的夾角與二面角之間的關系確定AE的大小．

解答：解：（1）分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立如圖的坐標系，
∵AD=AA₁=1，AB=2，
∴A（1，0，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），C（0，2，0）．
設E（1，t，0），
則

D1E

=(1，t，-1)，

A1D

=(-1，0，-1)，
∵

D1A

•

A1D

=(1，t，-1)•(-1，0，-1)=-1+1=0，
∴

D1A

⊥

A1D

，
即D₁E⊥A₁D．
（2）當E為AB的中點時，E（1，1，0），

D1E

=(1，1，-1)，

D1C

=(0，2，-1)，
設面ECD₁的法向量為

n

=(x，y，z)，由

n ? D1E =0 n ? D1C =0

，
即

x+y-z=0 2y-z=0

，令y=1，則z=2，x=1，即

n

=(1，1，2)．
∵

AE

=(0，1，0)，
∴點A到面ECD₁的距離d=

| n ? AE |

| n |

=

1

12+12+22

=

1

6

=

6

6

．
（3）設AE=t，則E（1，t，0），設面D₁EC的法向量為

n

=(x，y，z)，則

CE

=(1，t-2，0)，.

D1C

=(0，2，-1)，

DD1

=(0，0，1)，
由

n ? D1E =0 n ? D1C =0

，得

2y-z=0 x+y(t-2)=0

令y=1，則z=2，x=2-t．，即

n

=(2-t，1，2)，
面ECD的法向量為

DD1

=(0，0，1)，
則由二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．
得cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n || DD1 |

=

2

2

，即

2

(t-2)2+5

=

2

2

，
解得t=2+

3

（不合題意，舍去），或t=2-

3

．
∴當AE=2-

3

時，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．

點評：本題主要考查空間向量的基本應用，利用向量可以解決空間直線垂直和點到平面距離以及二面角的大小，考查學生的運算能力．