Question

已知雙曲線C₁，C₂的焦點分別在x，y軸上，且中心為坐標原點．雙曲線C₁的實軸長和虛軸長分別等于雙曲線C₂的虛軸長和實軸長，且雙曲線C₁過點A（

5

，

3

），雙曲線C₂過點B（

10

，

7

），求雙曲線C₁，C₂的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設雙曲線C₁的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），C₂的方程為

y2

m2

-

x2

n2

=1（m，n＞0），由條件列出關于a，b，m，n的方程，解出它們即可得到雙曲線的方程．

解答： 解：設雙曲線C₁的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
C₂的方程為

y2

m2

-

x2

n2

=1（m，n＞0），
則由題意可得，a=n，b=m，
且

5

a2

-

3

b2

=1，又

7

m2

-

10

n2

=1，
解得，a=n=

2

2

，b=m=

3

3

．
則雙曲線C₁的方程為2x²-3y²=1，
C₂的方程為3y²-2x²=1．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查待定系數法求方程的方法，考查運算能力，屬于基礎題．