Question

如圖，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，點E、F分別在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D.

（1）求證：A₁C⊥平面AEF；

（2）若規定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角（或直角）.則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與這兩個平面所成的角相等.

試根據上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5時，求平面AEF與平面D₁B₁BD所成角的大小.（用反三角函數值表示）

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）證明：因為CB⊥平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影為A1B. 由A1B⊥AE，AE平面A1B，得A1C⊥AE. 同理可證A1C⊥AF. 因為A1C⊥AF，A1C⊥AE， 所以A1C⊥平面AEF. （2）解：過A作BD的垂線交CD于G，因為D1D⊥AG，所以AG⊥平面D1B1BD. 設AG與A1C所成的角為α，則α即為平面AEF與平面D1B1BD所成的角. 由已知，計算得DG=. 如圖建立直角坐標系，則得點A（0，0，0），G（，3，0），A1（0，0，5）， C（4，3，0）. AG={，3，0}，A1C={4，3，－5}. 因為AG與A1C所成的角為α， 所以cosα=. 由定理知，平面AEF與平面D1B1BD所成角的大小為arccos. 注：沒有學習向量知識的同學可用以下的方法求二面角的平面角. 解法一：設AG與BD交于M，則AM⊥面BB1D1D，再作AN⊥EF交EF于N，連接MN，則∠ANM即為面AEF與D1B1BD所成的角α，用平面幾何的知識可求出AM、AN的長度. 解法二：用面積射影定理cosα=.