Question

已知函數(shù) (a>0,且a≠1)，=.

（1）函數(shù)的圖象恒過定點A，求A點坐標；

（2）若函數(shù)的圖像過點(2,)，證明：函數(shù)在（1，2）上有唯一的零點.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）先利用已知條件求出a，在利用單調(diào)性和零點存在定理即可證明

【解析】

試題分析：（1）因為對數(shù)函數(shù)恒過頂點（1,0），

所以令所以過頂點                                 5分

（2）∵  

∴代入計算可得a=2                                                         7分

∴

上的增函數(shù)和減函數(shù)

∴

∴                                      10分

又（1，2）

∴上至多有一個零點.                                            12分

而

∴函數(shù)（1，2）                                  16分

考點：本小題主要考查對數(shù)函數(shù)過定點和函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在定理的應用.

點評：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)都過定點，這條性質(zhì)要靈活應用；利用函數(shù)的零點存在定理時要注意它只能判斷有零點，不能判斷零點的個數(shù).