Question

已知：定義域為R的函數f(x)=ax-x3在區間(0，

2

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)內是增函數．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）若f（x）的極小值為-2，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）=ax-x³進行求導，轉化成f′（x）在（0，

2

2

）上恒有f′（x）＞0，求出參數a的取值范圍．
（2）因為函數f（x）的極小值為-2，所以將極小值點的值代入代入到函數關系式中得到等式，解方程即可得a的值．

解答：解：（1）f′(x)=a-3x2，依題意x∈(0，

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)時，f′(x)＞0，即a-3x2＞0恒成立．
∴a≥3×(

2

2

)2=

3

2

，所以a的范圍是[

3

2

，+∞)（6分）
（2）令f′(x)=0，即a-3x2=0，得x=±

a 3

，(a≥

3

2

)．
當x變化時f′（x）和f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，- a 3 ）	- a 3	（- a 3 ， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

∴x=-

a 3

時，f（x）取極小值．
故f（-

a 3

）=a•（-

a 3

）-（-

a 3

）³=-2解得：a=3．（14分）

點評：主要考查函數單調性的綜合運用，函數的單調性特征與導數之間的綜合應用能力，把兩個知識加以有機會組合．特別，在研究函數的單調區間或決斷函數的單調性時，三個基本步驟不可省，一定要在定義域內加以求解單調區間或判斷單調性．