Question

已知x，y滿足條件

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

（1）求z=2y-x的最大值．
（2）求x²+y²的最小值．

Answer 1

分析：（1）作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部，再將目標函數z=2x-y對應的直線進行平移，可得當l經過點BC上一點時，z取得最大值，可得答案；
（2）設P（x，y），可得x²+y²=|OP|²表示O、P兩點距離的平方之值，因此運動點P并加以觀察，可得當P與原點O在AC上的射影Q重合時，|OP|達到最小值，由此可得x²+y²的最小值．

解答：解：（1）作出不等式組

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

表示的平面區域，
得到如圖的△ABC及其內部，其中A（1，3），B（7，9），C（3，1），
設z=F（x，y）=2x-y，將直線l：z=2x-y進行平移，
觀察x軸上的截距變化，可得當l經過點BC上一點時，目標函數z達到最大值．
∴z_最大值=F（7，9）=5；
（2）設P（x，y）為區域內一個動點，
則|OP|=

x2+y2

，因此x²+y²=|OP|²表示O、P兩點距離的平方之值．
∵當P與原點O在AC上的射影Q重合時，|OP|=

|0+0-4|

2

=2

2

達到最小值
∴|OP|²的最小值為8，即x²+y²的最小值為8．

點評：本題給出二元一次不等式組，求目標函數z=2x-y最大值和x²+y²的最小值，著重考查了兩點的距離公式、二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識．