Question

已知函數f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）有最小值．
（1）求實常數a的取值范圍；
（2）設g（x）為定義在R上的奇函數，且當x＜0時，g（x）=f（x），求g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）分x≥2與x＜2討論，將絕對值符號去掉，結合題意f（x）有最小值，即可求得常數a的取值范圍；
（2）設x＞0，則-x＜0，由題意可求得g（x）=（a-2）x-4，而當x＜0時，g（x）=f（x），從而可得g（x）的解析式．
解答：解：（1）∵f（x）=2|x-2|+ax，
∴（3分）
又函數f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）有最小值，
∴-2≤a≤2，
即當-2≤a≤2 f（x）有最小值；（3分）
（2）∵g（x）為R上的奇函數，
∴g（-0）=-g（0），得g（0）=0，（2分）
設x＞0，則-x＜0，由g（x） 為奇函數，得g（x）=-g（-x）=（a-2）x-4． （4分）
∴g（x）=，（2分）
點評：本題考查帶絕對值的函數，著重考查函數的奇偶性，正確理解“函數f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）有最小值”是關鍵，也是難點，屬于中檔題．