Question

根據如圖所示的程序框圖，將輸出的a，b值依次分別記為a₁，a₂，…，a_n，b₁，b₂，…，b_n，其中n∈N^*，n≤2010．
（I）分別求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（II）令c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）根據框圖可知a_n+1=a_n+2整理得a_n+1-a_n=2，根據等差數列的定義判斷出{a_n}為等差數列，進而根據等差數列的通項公式求得a_n，根據b_n+1=3b_n，整理得

bn+1

bn

=3判斷出{b_n}為等比數列，根據首項和公比求得{b_n}的通項公式．
（II）根據（1）中求得的a_n和b_n，求得c_n，進而利用錯位相減法求得答案．

解答：解：（I）依框圖得，a_n+1=a_n+2，a₁=1，
即a_n+1-a_n=2，∴數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
又b_n+1=3b_n，b₁=3，
即

bn+1

bn

=3，∴數列{b_n}是首項為3，公比為3的等比數列
∴b_n=3×3^n-1=3ⁿ

（II）由（I）得c_n=a_nb_n=（2n-1）•3ⁿ
∵數列{c_n}的前n和為T_n∴T_n=c₁+c₂+c₃++c_n-1+c_nT_n=1×3¹+3×3²+5×3³++（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ①
∴3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴++（2n-3）×3ⁿ+（2n-1）×3ⁿ⁺¹②
將①-②得：-2T_n=3+2×3²+2×3³+2×3⁴++2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=-3+2（3+3²+3³+3⁴++3ⁿ）-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=-3+2×

3(3n-1)

3-1

-(2n-1)×3n+1=-2(n-1)×3n+1-6
T_n=（n-1）×3ⁿ⁺¹+3

點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的通項公式，及數列求和問題．由等差數列和等比數列構成的數列常可用錯位相減法求和．