Question

14．已知等差數列{a_n}的公差為d，且d＞0，等比數列{b_n}為公比q，且q＞1，首項b₁＞0，若a_n-a₁＞log_ab_n-log_ab₁（n∈N，n＞1，a＞0，a≠1），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 由a_n-a₁＞log_ab_n-log_ab₁，可得a₁+（n-1）d-a₁＞log_a$\frac{_{n}}{_{1}}$，根據對數的運算性質可知d＞log_aq，由對數函數的圖象可知：0＜a＜1時，$d＞{log_a}q⇒{a^d}＜q$，當a＞1時，$d＞{log_a}q⇒{a^d}＞q⇒a＞\rootp9vv5xb5{q}$，即可求得實數a的取值范圍．

解答 解：由a_n-a₁＞log_ab_n-log_ab₁，
由等差數及等比列通項公式可知：a₁+（n-1）d-a₁＞log_a$\frac{_{n}}{_{1}}$，
∴（n-1）d＞log_aq^n-1，
∴d＞log_aq，
當0＜a＜1時，$d＞{log_a}q⇒{a^d}＜q$成立，
當a＞1時，$d＞{log_a}q⇒{a^d}＞q⇒a＞\rootp9vv5xb5{q}$，
綜上可得：$a∈（0，1）∪（\rootp9vv5xb5{q}，+∞）$．

點評 本題考查等比數列等差數列的通項公式，考查對數的運算性質及對數函數的圖象，考查數列與不等式的綜合應用，屬于中檔題．