Question

已知函數f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x．
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）的周期及單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和兩角和差的正弦公式、正弦函數的有界性即可得出．
（2）利用正弦函數的周期公式、單調性即可得出．

解答：解：（1）f（x）=1-cos2（

π

4

+x）-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x
=1+2sin（2x-

π

3

）．
∵-1≤sin(2x-

π

3

)≤1，
∴f（x）的值域為[-1，3]．                               
（2）f（x）的周期T=

2π

2

=π．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，
所以f（x）單調減區間是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]（k∈Z）．

點評：熟練掌握三角函數的圖象與性質、倍角公式、兩角和差的正弦余弦公式是解題的關鍵．