Question

【題目】已知拋物線的焦點在拋物線上，點是拋物線上的動點．

（1）求拋物線的方程及其準線方程；

（2）過點作拋物線的兩條切線，、分別為兩個切點，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）的方程為 其準線方程為；（2）2

【解析】試題分析：（1）求得拋物線C1的焦點，由題意可得p=2，即可得到所求拋物線的方程和準線方程；（2）設P（2t，t2），A（x1，y1），B（x2，y2），求出y=x2+1的導數，可得切線PA，PB的斜率和方程，又PA和PB都過P點，可得直線AB的方程，代入拋物線y=x2+1，運用韋達定理和弦長公式，由點到直線的距離公式，可得P到直線AB的距離，再由三角形的面積公式，化簡整理計算可得所求面積的最小值．

試題解析：

（1）的方程為 其準線方程為．

（2）設，，，

則切線的方程：，即，又，

所以，同理切線的方程為，

又和都過點，所以，

所以直線的方程為.

聯立得，所以。

所以．

點到直線的距離．

所以的面積

所以當時， 取最小值為。即面積的最小值為2.