Question

已知直線l：2mx-y-8m-3=0和圓C：（x-3）²+（y+6）²=25．
（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓C總相交；
（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長度以及此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由2mx-y-8m-3=0，知（2x-8）m-（y+3）=0，故

2x-8=0 y+3=0

，解得直線l恒過（4，-3），由點（4，-3）到圓心（3，-6）的距離d=

(4-3)2+(-3+6)2

=

10

＜r=5，知不論m為何實數值，直線l與圓C總相交．不論m為何實數值，直線l與圓C總相交．
（2）由0≤d≤

10

，知d的最大值為

10

．根據平面幾何知識可知：當圓心到直線l的距離最大時，直線l被圓C截得的線段長度最短．由此能求出直線l被圓C截得的線段的最短長度以及此時直線l的方程．

解答：（1）證明：∵2mx-y-8m-3=0，
∴（2x-8）m-（y+3）=0，
∴

2x-8=0 y+3=0

，解得

x=4 y=-3

，
∴直線l恒過（4，-3），
∵點（4，-3）到圓心（3，-6）的距離d=

(4-3)2+(-3+6)2

=

10

＜r=5，
故不論m為何實數值，直線l與圓C總相交．
（2）解：由（1）可知0≤d≤

10

，即d的最大值為

10

．
根據平面幾何知識可知：當圓心到直線l的距離最大時，直線l被圓C截得的線段長度最短．
∴當d=

10

時，
線段（即弦長）的最短長度為
2

25- 10 p2

=2

15

．（9分）
將d=

10

代入①可得m=-

1

6

，
代入直線l的方程，
得直線被圓C截得最短線段時l的方程為x+3y+5=0．（12分）

點評：本題考查直線與圓相交的證明，考查直線被圓截得的線段的最短長度以及此時直線的方程．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．