Question

已知直線l：2mx-y-8m-3=0和圓C：x²+y²-6x+12y+20=0．
（1）m∈R時，證明l與C總相交；　
（2）m取何值時，l被C截得弦長最短，求此弦長．

Answer 1

分析：（1）將直線l變形后，得出直線l恒過A（4，-3），然后將圓C化為標準方程，找出圓心C的坐標及半徑r，利用兩點間的距離公式求出點A到圓心C的距離d，根據d小于r得到A點在圓C內，進而確定出直線l與圓C總相交；
（2）l被C截得弦長最短時，A為弦的中點，直線CA與直線l垂直，由A和C的坐標求出直線AC的斜率，利用兩直線垂直時斜率滿足的關系求出直線l的斜率，根據直線l的方程即可求出m的值，再由弦心距d=|AC|及半徑r，利用垂徑定理及勾股定理即可求出直線l被圓C截得的最短弦長．

解答：解：（1）將直線l變形得：2m（x-4）+（y+3）=0，
可得出直線l恒過A（4，-3），
將圓C化為標準方程得：（x-3）²+（y+6）²=25，
∴圓心C為（3，-6），半徑r=5，
∵點A到圓心C的距離d=

(4-3)2+(-3+6)2

=

10

＜5=r，
∴點A在圓內，
則l與C總相交；
（2）∵直徑AC所在直線方程的斜率為

-3+6

4-3

=3，
∴此時l的斜率為-

1

3

，
又2mx-y-8m-3=0變形得：y=2mx-8m-3，即斜率為2m，
∴2m=-

1

3

，即m=-

1

6

，
此時圓心距d=|AC|=

10

，又半徑r=5，
則l被C截得的弦長為2

r2-d2

=2

15

．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：兩點間的距離公式，垂徑定理，勾股定理，兩直線垂直時斜率滿足的關系，恒過定點的直線方程，圓的標準方程，以及點與圓位置關系，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，進而利用弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理解決問題．