Question

如下圖,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，AB=5,點D是AB的中點，

（1）求證：AC₁∥平面CDB₁；

（2）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

思路解析：本題第一問要證明直線與平面平行,可以圍繞著線面平行的判定定理,轉(zhuǎn)而去證明線線平行,結(jié)合已知條件不難得以證明;第二問是要求異面直線所成的角,就要考慮平移其中一條（或兩條）直線,從而轉(zhuǎn)化為相交兩直線所成的角的問題,從而得以求解.

(1)證明：設(shè)CB₁與C₁B的交點為E，連結(jié)DE.

∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，

∴DE∥AC₁.

∵DE平面CDB₁,AC₁平面CDB₁,

∴AC₁∥平面CDB₁.

（2）解：∵DE∥AC₁,∴∠CED為AC₁與B₁C所成的角.

在△CED中，ED=AC₁=,CD=AB=，CE=CB₁=2,

∴由余弦定理得

cos∠CED=.

∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為.