Question

如下圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°,BC=CC₁=a,AC=2a.

(1)求證:AB₁⊥BC₁;

(2)求二面角B—AB₁—C的大小；

(3)求點A₁到平面AB₁C的距離.

Answer 1

(1)證明:

∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱,∴CC₁⊥平面ABC.∴AC⊥CC₁.∵AC⊥BC,∴AC⊥平面B₁BCC₁.

∴B₁C是AB₁在平面B₁BCC₁上的射影.

∵BC=CC₁,∴四邊形B₁BCC₁是正方形.∴BC₁⊥B₁C.

    根據三垂線定理,得AB₁⊥BC₁.

(2)解:設BC₁∩B₁C=O,作OP⊥AB₁于點P，連結BP.

∵BO⊥AC,且BO⊥B₁C,

∴BO⊥平面AB₁C.

∴OP是BP在平面AB₁C上的射影.

    根據三垂線定理,得AB₁⊥BP.

∴∠OPB是二面角B—AB₁—C的平面角.

∵△OPB₁∽△ACB₁,∴.

∴OP==a.

    在Rt△POB中，tan∠OPB==,

∴二面角B—AB₁—C的大小為arctan.

(3)解法一:∵A₁C₁∥AC,A₁C₁平面AB₁C,

∴A₁C₁∥平面AB₁C.

∴點A₁到平面AB₁C的距離與點C₁到平面AB₁C的距離相等.

∵BC₁⊥平面AB₁C,

∴線段C₁O的長度為點A₁到平面AB₁C的距離.

∴點A₁到平面AB₁C的距離為C₁O=a.

解法二:連結A₁C,有=,設點A₁到平面AB₁C的距離為h.

∵B₁C₁⊥平面ACC₁A₁,

∴·h=·B₁C₁.

    又=AC·B₁C=a²,

=AC·A₁A=a²,∴h==a.

∴點A₁到平面AB₁C的距離為a.