Question

已知實數x，y滿足不等式組Ω：

2x-y+2≥0 x+y≥2 x≤2.

（Ⅰ）作出不等式組Ω所表示的平面區域．
（Ⅱ）求z=3x-2y的最大值；
（Ⅲ）求t=

x2+y2

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二元一次不等式組表示平面區域，作出不等式組Ω所表示的平面區域．
（Ⅱ）利用z的幾何意義，求z=3x-2y的最大值；
（Ⅲ）利用t的幾何意義，求t=

x2+y2

的最小值．

解答：解：（Ⅰ）可行域如圖所示：
（Ⅱ）令直線l：y=

3

2

x-

1

2

z，
則當直線l過點C（2，0）時，l的縱截距-

1

2

z取最小值，
此時z取最大值，且最大值為4．
（ⅱ）t=

x2+y2

表示可行域內的點（x，y）與原點O的距離．
過原點O作直線x+y=2的垂線，易知垂足在可行域上，
∴所求的最小值為tmin=

2

2

=

2

．

點評：本題主要考查線性規劃的知識，利用目標函數的幾何意義，是解決線性規劃的基本方法，注意結合數形結合的思想進行求解．