Question

如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E分別是AC,AB上的點,且DE∥BC,DE=4,將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置,使A₁C⊥CD,如圖2.

圖1                      圖2

(1)求證:A₁C⊥平面BCDE;

(2)過點E作截面平面,分別交CB于F,于H,求截面的面積;

(3)線段BC上是否存在點P,使平面A₁DP與平面A₁BE成的角?說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)要證明線面垂直，則根據線面垂直的判定定理來得到。（2）

(3) 存在線段上存在點,使平面與平面成的角

【解析】

試題分析：解:(1), 平面.

又平面, .

又, 平面         ……4分

(2) )過點E作EF∥CD交BC于F,過點F作FH∥交于H,連結EH.

則截面平面。

因為四邊形EFCD為矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，從而FB=2，HF=

平面, FH∥，平面，

  ……8分

(3)假設線段BC上存在點P,使平面A₁DP與平面A₁BE成的角。

設點坐標為,則.

如圖建系,則,,, .

∴, 

設平面法向量為,

則∴ ，∴

設平面法向量為,因為,. 

則∴∴ 

則∴56,

解得

∵ ∴

所以存在線段上存在點,使平面與平面成的角. ……12分

考點：空間中點線面的位置關系的運用

點評：解決的關鍵是根據面面垂直化的判定定理以及二面角的概念來求解，屬于基礎題。