Question

（2009•普陀區一模）如圖，在 Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4，D是AB的中點．現將 Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉一周得到一個圓錐體，點C為圓錐體底面圓周上的一點，且∠BOC=90°．
（1）求該圓錐體的體積；
（2）求異面直線AO與CD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）在 Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4，所以OC=2，AO=2

3

，該圓錐體的體積v=

1

3

×π×22×2

3

=

8 3

3

π．
（2）解法一、設OB中點為E，連接CE、DE，則設異面直線AO與CD所成角即為∠CDE．由DE∥AO，所以DE⊥底面COB，于是DE⊥CE．又DE=

1

2

AO=

3

，CE=

CO2+EO2

=

5

．由此能求出異面直線AO與CD所成角的大小．
解法二：以OC為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，則

OA

=(0，0，2

3

)，

CD

=(-2，1，

3

)，設異面直線AO與CD所成角為θ，則cosθ=

| OA • CD |

| OA |•| CD |

=

6

2 3 •2 2

=

6

4

．由此能求出異面直線AO與CD所成角的大小．

解答：解：（1）∵在 Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4，
∴OC=2，AO=2

3

，
該圓錐體的體積v=

1

3

×π×22×2

3

=

8 3

3

π．
（2）解法一、設OB中點為E，連接CE、DE，
則設異面直線AO與CD所成角即為∠CDE．
由DE∥AO，所以DE⊥底面COB，
于是DE⊥CE．
又DE=

1

2

AO=

3

，
CE=

CO2+EO2

=

5

，
∴tan∠CDE=

15

3

．
即異面直線AO與CD所成角的大小為arctan

15

3

．
解法二：以OC為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，
則O（0，0，0），A(0，0，2

3

)，C（2，0，0），D(0，1，

3

)，
∴

OA

=(0，0，2

3

)，

CD

=(-2，1，

3

)，
設異面直線AO與CD所成角為θ，
則cosθ=

| OA • CD |

| OA |•| CD |

=

6

2 3 •2 2

=

6

4

．
∴異面直線AO與CD所成角的大小為arccos

6

4

．

點評：本題考查圓錐體的體積和兩條異面直線所成角的大小的求法，解題時要認真審題，合理地建立空間直角坐標系，利用向量法求解兩條異面直線所成角的大小．