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已知函數f(x)=ex-1-m-lnx,其中m∈R.
(Ⅰ)若x=1是函數f(x)的極值點,求m的值并討論函數f(x)的單調性;
(Ⅱ)當m≤-1時,證明:f(x)>0.
分析:(I)由x=1是函數f(x)的極值點,可得f'(1)=0,進而可得m=0,進而分析導函數的符號,進而可由導函數的符號與函數單調性的關系,可得函數f(x)的單調性;
(Ⅱ)當m≤-1,x∈(0,+∞)時,由ex≥x+1恒成立和x+1>lnx恒成立,可得當m≤-1,ex-1-m>lnx,進而得到結論.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=ex-1-m-lnx,
∴f′(x)=ex-1-m-
1
x

∵x=1是函數f(x)的極值點,
∴f'(1)=0,解得m=0
當m=0時,f(x)=ex-1-lnx,
f(x)=ex-1-
1
x
為(0,+∞)上的增函數,
又由于f′(1)=0,
所以當x∈(0,1)時,f'(x)<0,此時f(x)遞減;
x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,此時f(x)遞增;
(Ⅱ)當m≤-1時,
當x∈(0,+∞)時,
令g(x)=ex-(x+1),則g′(x)=ex-1>0
故g(x)=ex-(x+1)在(0,+∞)上為增函數
∴g(x)>g(0)=0
故ex>x+1恒成立;
令h(x)=x+1-lnx,則h′(x)=1-
1
x

∵x∈(0,1),h′(x)<0,x∈(1,+∞),h′(x)>0
故h(x)≥h(1)=2
即x+1>lnx恒成立,
所以當m≤-1,ex-1-m≥ex>x+1>lnx
所以,f(x)>0成立.
點評:本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值,函數在某點取得極值的條件,熟練掌握導數在求函數定義域,及函數最值時的功能是解答的關鍵.
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