Question

已知甲、乙兩地的公路線長400千米，用10輛汽車從甲地向乙地運送一批物資，假設汽車以v千米/小時的速度直達乙地，為了某種需要，兩汽車間距不得小于(

v

10

)2千米（汽車車身長度不計），則這批物資全部到達乙地的最短時間是

12

小時．

Answer 1

分析：設所需的時間為y小時，首先根據題意，得10輛車的間距和加上400正是汽車行駛的路程，再用這個路程除以速度即可求得所需的時間y的關系式，進而利用均值不等式求得y的最小值，得出需要的最少時間．

解答：解：設這批貨物到達目的地的所用時間為y小時
因為不計汽車的身長，所以設汽車為一個點，
可知最前的點與最后的點之間距離最小值為9×(

v

10

)2千米時，時間最快．
則這批物資全部到達乙地的時間y=

9×( v 10 )2+400

v

=

9v

100

+

400

v

≥2

9v 100 • 400 v

=12
當且僅當

9v

100

=

400

v

即v=

200

3

千米/小時，時間y_min=12小時
故答案為：12．

點評：本題函數模型的選擇與應用，主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，屬于中檔題．