Question

一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線(xiàn)x²-ay²=1的右支上，其中一個(gè)頂點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意設(shè)雙曲線(xiàn)的方程，進(jìn)而得到右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由正三角形的對(duì)稱(chēng)性可設(shè)其他兩點(diǎn)中任意點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得到橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后將點(diǎn)代入雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)判別式大于等于0可求出a的范圍．

解答：解：由題意可知正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），另兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
故可得等邊三角形雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)的兩個(gè)邊的斜率分別為

3

3

，-

3

3

雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是y=±

1

a

所以有

1

a

≤

3

3

解得a＞3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線(xiàn)的基本性質(zhì)．考查運(yùn)算能力．