Question

已知函數f（x）=

1

2

(x-

1

x

)-lnx．
（1）求證：f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增；
（2）求證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

(n∈N+)．

Answer 1

分析：（1）通過函數的導數，判斷導函數的范圍≥0，即可證明：f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增；
（2）直接利用數學歸納法的證明步驟，證明1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

(n∈N+)．當n=k+1時，利用分析法證明ln(k+1)+

k+2

2(k+1)

≥ln(k+2)+

k+1

2(k+2)

，從而證明所要證明的結果．

解答：解：（1）在[1，+∞）上，f′(x)=

1

2

+

1

2x2

-

1

x

=

(x-1)2

2x2

≥0⇒f(x)在[1，+∞）上單調遞增．
（2）當n=1時，1＞ln2+

1

4

，不等式成立；
假設當n=k時不等式成立，即有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞ln(k+1)+

k

2(k+1)

則當n=k+1，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞ln(k+1)+

k

2(k+1)

+

1

k+1

=ln(k+1)+

k+2

2(k+1)

下面整：ln(k+1)+

k+2

2(k+1)

≥ln(k+2)+

k+1

2(k+2)

?

1

2

(

k+2

k+1

-

k+1

k+2

)≥ln

k+2

k+1

令x=

k+2

k+1

，則x∈[1，+∞），只需要證明

1

2

(x-

1

x

)≥lnx，
由（1）知f(x)=

1

2

(x-

1

x

)-lnx在區間[1，+∞）上單調遞增⇒f(x)≥f(1)=0⇒

1

2

(x-

1

x

)≥lnx
也就是證明了ln(k+1)+

k+2

2(k+1)

≥ln(k+2)+

k+1

2(k+2)

即當n=k，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞ln(k+2)+

k+1

2(k+2)

由此可知，對于一切（n∈N⁺），1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

點評：本題考查導數的應用，數學歸納法的證明步驟以及證明方法，考查計算能力邏輯推理能力．