Question

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D為側棱PC的中點,它的正(主)視圖和側(左)視圖如圖所示.

(1)證明:AD⊥平面PBC.

(2)求三棱錐D-ABC的體積.

(3)在∠ACB的平分線上確定一點Q,使得PQ∥平面ABD,并求此時PQ的長.

Answer 1

 (1)因為PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,

又AC⊥BC,PA∩AC=C,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AD.由三視圖可得,在△PAC中,PA=AC=4,且D為PC中點,所以AD⊥PC,又BC∩PC=C,

所以AD⊥平面PBC.

(2)由三視圖可得BC=4,

由(1)知∠ADC=90°,BC⊥平面PAC,

又三棱錐D-ABC的體積即為三棱錐B-ADC的體積,

所以,所求三棱錐的體積V=××2×2×4=.

(3)取AB的中點O,連接CO并延長至Q,使得CQ=2CO,點Q即為所求.

連接OD,PQ,AQ,BQ,

因為O為CQ中點,所以PQ∥OD,

因為PQ⊄平面ABD,OD⊂平面ABD,所以PQ∥平面ABD,

四邊形ACBQ的對角線互相平分,

所以ACBQ為平行四邊形,所以AQ=4,又PA⊥平面ABC,

所以在直角△PAQ中,PQ==4.