Question

對于任意實數a、b、c，給定下列四個命題，其中真命題的個數為（　　）
（1）“a=b”是“ac=bc”的充要條件；
（2）“a+5是無理數”是“a是無理數”的充要條件；
（3）“a＞b”是“a²＞b²”的充要條件；
（4）“a＜5”是“a＜3”的必要非充分條件．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：本題考查的知識點是必要條件、充分條件與充要條件的判斷及不等式的性質，我們根據充要條件的定義對題目中的四個答案逐一進行分析即可得到答案．

解答：解：∵①中“a=b”⇒“ac=bc”為真命題，但當c=0時，“ac=bc”⇒“a=b”為假命題，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要條件，故①為假命題；
∵②中“a+5是無理數”⇒“a是無理數”為真命題，“a是無理數”⇒“a+5是無理數”也為真命題，
故“a+5是無理數”是“a是無理數”的充要條件，故②為真命題；
∵③中“a＞b”⇒“a²＞b²”為假命題，“a²＞b²”⇒“a＞b”也為假命題，
故“a＞b”是“a²＞b²”的即充分也不必要條件，故③為假命題；
∵④中{a|a＜5}?{a|a＜3}，故“a＜5”是“a＜3”的必要不充分條件，故④為真命題．
故真命題的個數為2
故選B

點評：判斷充要條件的方法是：①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．學生要理解說明一個命題為假命題，只需要舉一個反例即可，要說明一個命題為真命題，必須經過嚴格的證明．