Question

【題目】已知圓E的極坐標方程為ρ=4sinθ，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，取相同單位長度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．
（1）直線l過原點，且它的傾斜角α= ，求l與圓E的交點A的極坐標（點A不是坐標原點）；
（2）直線m過線段OA中點M，且直線m交圓E于B、C兩點，求||MB|﹣|MC||的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線l的傾斜角α= ，

∴直線l的極角θ= ，或θ= ．代入圓E的極坐標方程ρ=4sinθ

可得： 或ρ=﹣2 （舍去）．

∴l與圓E的交點A的極坐標為

（2）解：由（1）可得：線段OA的中點M ，可得直角坐標M（﹣1，1）．

又圓E的極坐標方程為ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐標方程：x2+y2﹣4y=0，

設直線l的參數方向為： （t為參數），

代入圓的方程可得：t2﹣2t（sinα+cosα）﹣2=0，△＞0，

∴t1+t2=2（sinα+cosα），t1t2=﹣2．

∴||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|=2|sinα+cosα|=2 | |，

∴||MB|﹣|MC||的最大值為2

【解析】（1）由直線l的傾斜角α= ，可得直線l的極角θ= ，或θ= ．代入圓E的極坐標方程即可得出．（2）由（1）可得：線段OA的中點M ，可得直角坐標M．又圓E的極坐標方程為ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2 ， y=ρsinθ代入可得直角坐標方程，設直線l的參數方向為： （t為參數），代入圓的方程可得關于t的一元二次方程，利用||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|即可得出．