Question

【題目】等腰直角三角形ABC的直角頂點A在x軸的正半軸上，B在y軸的正半軸上，C在第一象限，設∠BAO=θ（O為坐標原點），AB=AC=2，當OC的長取得最大值時，tanθ的值為（ ）
A.
B.﹣1+
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由題意畫出圖象如圖所示：
過點C做x軸的垂線，垂足為D，AB=AC=2，
在RT△ABO中，∠BAO=θ，則OA=2cosθ，
∵∠BAC= ，∴∠ACD=θ，
在RT△ACD中，AD=2sinθ，CD=2cosθ，
∴OD=OA+AD=2（sinθ+cosθ），
則OC2=OD2+CD2=4（1+sin2θ）+4cos2θ
=6+4sin2θ+2cos2θ=6+2 sin（2θ+α），
其中 ， ，
當sin（2θ+α）=1時，OC的長取得最大值，
即 ，則 ，
∴ ， ，
則 ，
∴ ，解得tanθ= ，則tanθ= ，
故選：A．

【考點精析】本題主要考查了兩角和與差的正切公式的相關知識點，需要掌握兩角和與差的正切公式：才能正確解答此題．