Question

數列{a_n}滿足a₁=2，且an+1=2-

1

an

．
（I）證明：數列{

1

an-1

}為等差數列；
（II）若bn=

n

2n

•an，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）根據an+1=2-

1

an

，可得

1

an+1-1

-

1

an-1

=1，從而可得{

1

an-1

}是以1為首項，公差為1的等差數列；
（II）先確定數列{a_n}的通項，進而可得bn=

n

2n

×an=

n+1

2n

，利用錯位相減法，可求數列的和．

解答：（I）證明：∵an+1=2-

1

an

∴an+1-1=1-

1

an

∴

an+1-1= an-1 an

∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=1
∴{

1

an-1

}是以1為首項，公差為1的等差數列．
（II）解：由上知：

1

an-1

=1+(n-1)×1=n，∴an=

n+1

n

，n∈N*
∴bn=

n

2n

×an=

n+1

2n

S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n
∴

1

2

S_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+(n+1)(

1

2

)n+1
錯位相減得：

1

2

S_n=2×(

1

2

)1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1
∴Sn=3-(n+3)×(

1

2

)n

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的求和，解題的關鍵是構造新數列，利用錯位相減法求數列的和．