Question

【題目】已知函數有最大值， ，且是 的導數．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）證明：當， 時， ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）函數求導，討論函數單調性求最值即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，求導得在上單調遞增，由且得，由， 單調遞增，要證，即，只要證，即，所以只要證，構造函數求導證明即可.

試題解析：

（Ⅰ）的定義域為， ．

當時， ，

在上為單調遞增函數，無最大值，不合題意，舍去；

當時，令，得，

當時， ，函數單調遞增；

當時， ，函數單調遞減，

,

,

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,

．

， ,

在上單調遞增．

又， 且,

．

,

當時， ， 單調遞增,

要證，即，只要證，即．

， ,

所以只要證 ————（*）,

設 （其中）,

,

在（0，1）上為增函數,

，故（*）式成立，從而．