Question

【題目】如圖，A是△BCD所在平面外一點(diǎn)，M、N為△ABC和△ACD重心，BD=6；

（1）求MN的長(zhǎng)；
（2）若A、C的位置發(fā)生變化，MN的位置和長(zhǎng)度會(huì)改變嗎？

Answer 1

【答案】
（1）解：延長(zhǎng)AM、AN，分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，連結(jié)EF．

∵M(jìn)、N分別是△ABC和△ACD的重心，

∴AE、AF分別為△ABC和△ACD的中線，且 = ，

可得MN∥EF且MN= EF，

∵EF為△BCD的中位線，可得EF= BD，

∴MN= BD=2

（2）解：由（1）可得位置改變，長(zhǎng)度不改變．
【解析】（1）利用三角形的重心的性質(zhì)，可得M、N分別是△ABC與△ACD的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，得 = ，由此利用平行線的性質(zhì)與三角形中位線定理，算出MN與BD的關(guān)系，即可得到MN的長(zhǎng)．（2）由（1）可得位置改變，長(zhǎng)度不改變．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方才能正確解答此題．