Question

已知長軸長為4的橢圓上一點P與兩焦點F₁、F₂連成的△PF₁F₂中，∠F₁PF₂=60°，則△PF₁F₂的面積的最大值為

3

．

Answer 1

分析：根據橢圓的定義，得PF₁+PF₂=2a=4，PF₁=x，則PF₂=4-x，代入三角形面積公式，進而結合二次函數的圖象性質可得答案．

解答：解：根據橢圓的定義，得PF₁+PF₂=2a=4
設PF₁=x，則PF₂=4-x，
又∵∠F₁PF₂=60°
∴△PF₁F₂的面積S=

1

2

PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=-

3

4

x²+

3

x
當x=2時，S取最大值

3

故答案為：

3

點評：本題給出橢圓上一點對兩個焦點的張角為60度，求橢圓兩焦點與該點構成三角形的面積，著重考查了橢圓的簡單性質和正弦定理等知識點，屬于中檔題．