Question

已知橢圓的C兩個焦點分別為F₁（0，-1），F₂（0，1），離心率，P是橢圓C在第一象限內的一點，且|PF₁|-|PF₂|=1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求點P的坐標；
（3）若點Q是橢圓C上不同于P的另一點，問是否存在以PQ為直徑的圓G過點F₂？若存在，求出圓G的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）依題可設橢圓方程為
則，b²=a²-1²=3-------------（2分）
故曲線C的方程為．-------------------（3分）
（2）法一：由橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=4-----（1分）
聯立|PF₁|-|PF₂|=1得-------（2分）
又|F₁F₂|=2，有|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²
∴PF₂⊥F₁F₂
∴P的縱坐標為1，-------------------（3分）
把y=1代入得或（舍去）
∴-------------------（4分）
法二：由|PF₁|-|PF₂|=1得點P在以F₁（0，-1），F₂（0，1）為焦點，實軸長為1的雙曲線的上支上，---------（1分）
雙曲線的方程為-------------------（2分）
聯立得------------------（3分）
因P在第一象限內，故∴-------------------（4分）
（3）設存在滿足條件的圓，則PF₂⊥QF₂，設Q（s，t），則-------------------（1分）
得，得s=0-------------------（2分）
又，∴t=±2-------------------（3分）
∴Q（0，2）或Q（0，-2）-------------------（4分）
，∴，
∴圓G為：-------------（6分）
或，∴，∴圓G為：------------（7分）
分析：（1）由題意可得c=1，，b²=a²-1²=3，從而可求橢圓的方程
（2）法一：由橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=4，聯立|PF₁|-|PF₂|=1可求PF₁，PF₂結合F₁F₂=2，有|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²
可得PF₂⊥F₁F₂P的縱坐標為1，進而可求P的坐標
法二：由|PF₁|-|PF₂|=1得點P在雙曲線的上支，從而可得P為橢圓與雙曲線的交點，聯立，可求
（3）設存在滿足條件的圓，則PF₂⊥QF₂，設Q（s，t），則由題意可得可求Q
由或，，從而可得圓的方程
點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓的方程，雙曲線的定義的應用，直線與圓、圓錐曲線的位置關系的應用，屬于知識的綜合運用．