Question

已知橢圓的C兩個焦點分別為F₁（0，-1），F₂（0，1），離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）是否存在這樣的直線L交橢圓C與A、B兩點，且滿足

AF2

=2

F2B

，若存在求出該直線L，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（I）由橢圓的C兩個焦點分別為F₁（0，-1），F₂（0，1），離心率e=

1

2

．可得橢圓的焦點在y軸上，進而求出a，b值，可得橢圓的標準方程．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

AF2

=2

F2B

，得：x₁=-2x₂，y₁=3-2y₂，由此可求直線的方程；

解答：解：（I）∵橢圓的C兩個焦點分別為F₁（0，-1），F₂（0，1），
故設橢圓的標準方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），且c=1
又∵橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

．
故a²=4，b²=3
故橢圓的標準方程為：

y2

4

+

x2

3

=1
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

AF2

=2

F2B

得：x₁=-2x₂，y₁=3-2y₂，
由

y 2 2

4

+

x 2 2

3

=1，

(3-2y2)2

4

+

4 x 2 2

3

=1
解得：y₂=

7

4

，x₂=±

3 13

13

∴k=±

13

4

∴直線的方程為y=±

13

4

+1；

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查面積的計算，同時考查基本不等式的運用，屬于中檔題．