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如圖1，在平面內，是的矩形，是正三角形，將沿折起，使如圖2，為的中點，設直線過點且垂直于矩形所在平面，點是直線上的一個動點，且與點位于平面的同側。

（1）求證：平面；
（2）設二面角的平面角為，若，求線段長的取值范圍。

（1）連接，，∽，又平面在正中，是的中點，又平面
（2））設建立空間直角坐標系，如圖，
則

設平面的一個法向量為

則

設平面的一個法向量為
則

，

化簡得
解得因此，

解析

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖1，在平面內，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A₁和CD D′C₁都是正方形．將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使D′′與D′重合于點D₁．設直線l過點B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點E是直線l上的一個動點，且與點D₁位于平面ABCD同側（圖2）．
（Ⅰ）設二面角E-AC-D₁的大小為θ，若

≤θ≤

，求線段BE長的取值范圍；
（Ⅱ）在線段D₁E上存在點P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，求

D1P

與BE之間滿足的關系式，并證明：當0＜BE＜a時，恒有

D1P

＜1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖1，在平面內，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADD''A₁和CDD'C₁都是正方形．將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使D''與D'重合于點D₁．設直線l過點B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點E是直線l上的一個動點，且與點D₁位于平面ABCD同側，設BE=t（t＞0）（圖2）．
（1）設二面角E-AC-D₁的大小為q，若

≤θ≤

，求t的取值范圍；
（2）在線段D₁E上是否存在點P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，若存在，求出P分

D1E

所成的比λ；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖1，在平面內，ABCD是AB=2，BC=

的矩形，△PAB是正三角形，將△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如圖2，E為AB的中點，設直線l過點C且垂直于矩形ABCD所在平面，點F是直線l上的一個動點，且與點P位于平面ABCD的同側．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）設二面角F-PB-D的平面角為θ，若θ≥45°，求線段CF長的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖1，在平面內，ABCD邊長為2的正方形，ADD″A₁和CDD″C₁都是正方形．將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使D″與D′重合于點D₁．設直線l過點B且垂直于正方形ABCD所在的平面，點E是直線l上的一個動點，且與點D₁位于平面ABCD同側，設BE=t（t＞0）（圖2）．
（1）設二面角E-AC-D₁的大小為θ，當t=2時，求θ的余弦值；
（2）當t＞2時在線段D₁E上是否存在點P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，若存在，求出P分

D1E

所成的比λ；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖1，在平面內，ABCD是AB=2，BC=

的矩形，△PAB是正三角形，將△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如圖2，E為AB的中點，設直線l過點C且垂直于矩形ABCD所在平面，點F是直線l上的一個動點，且與點P位于平面ABCD的同側．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）設直線PF與平面PAB所成的角為θ，若45°＜θ≤60°，求線段CF長的取值范圍．

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