Question

如圖1，在平面內，ABCD是AB=2，BC=

2

的矩形，△PAB是正三角形，將△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如圖2，E為AB的中點，設直線l過點C且垂直于矩形ABCD所在平面，點F是直線l上的一個動點，且與點P位于平面ABCD的同側．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）設二面角F-PB-D的平面角為θ，若θ≥45°，求線段CF長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得：BD⊥PE，PE⊥AB所以PE⊥平面ABCD．所以證明線面垂直一般是證明已知直線與平面內的兩條相交直線垂直即可．
（2）建立空間直角坐標系利用向量法求出兩個平面的法向量，結合向量的一個知識表示出向量的夾角，進而表示出二面角的平面角再求出線段CF長的取值范圍．

解答：解：（1）連接EC，∵

BE

BC

=

1

2

=

2

2

=

BC

CD

，∠EBC=∠BCD=90°，
∴△EBC∽△BCD，∴∠ECB=∠BDC．∴BD⊥CE．
又∵PC⊥BD，PC∩CE=C，∴BD⊥平面PEC．∴BD⊥PE．
在正△PAB中，∵E是AB的中點，∴PE⊥AB．
又∵AB∩BD=B，∴PE⊥平面ABCD．
（2））設CF=t．建立空間直角坐標系，如圖，
則P(0，0，

3

)，B(1，0，0)，D(-1，

2

，0)，F(1，

2

，t)．

BD

=(-2，

2

，0)，

BP

=(-1，0，

3

)．

BF

=(0，

2

，t)．
設平面PBD的一個法向量為

n1

=(x1，y1，1)，
則

n1 • BP =0 n • BD =0

?

-x1+ 3 =0 -2x1+ 2 y1=0

?

x1= 3 y1= 6

∴

n1

=(

3

，

6

，1)．
設平面FPB的一個法向量為

n1

=(x2，y2，1)，
則

n2 • BP =0 n2 • BF =0

?

-x2+ 3 =0 2 x2+t=0

?

x2= 3 y2=- t 2

∴

n2

=(

3

，-

t

2

，1)．
cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

|4- 3 t|

10 • 4+ t2 2

．
∵30°≤θ＜45°，∴

1

2

≤sinθ＜

2

2

．∴0＜t≤

3

．
∵θ≥45°，∴cosθ≤

2

2

．
∴

|4- 3 t|

10 • 4+ t2 2

≤

2

2

，化簡得

1

2

t2-8

3

t-4≤0．
解得0＜t≤8

3

+10

2

，因此，0＜CF≤8

3

+10

2

．

點評：解決探索性問題與求長度問題最好的方法就是向量法，將其轉化為向量的基本運算，通過方程或不等式解決問題．